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Calcul Formel

L’équipe « Calcul Formel » développe de nouvelles méthodes de calcul permettant d’obtenir des représentations symboliques exactes et des informations qualitatives et quantitatives certifiées pour les solutions d’équations différentielles, polynomiales et plus généralement, fonctionnelles. Ses résultats théoriques et algorithmiques sont intégrés dans des réalisations logicielles qui viennent  compléter les « solvers » déjà existants pour la modélisation et la résolution concrète de problèmes scientifiques.

Recherche

Les activités de recherche de l'équipe se repartissent dans deux thèmes principaux.

1. Équations différentielles et fonctionnelles

Notre équipe a une expertise bien établie non seulement sur les systèmes différentiels linéaires, mais aussi sur les champs plus larges des systèmes fonctionnels (e.g., aux (q)-différences, de Ore, EDP) et des systèmes non-linéaires.

Son travail vise à maîtriser les deux bouts de la chaine « théorie abstraite — applications et implantation fine » et de ce fait, elle contribue à établir des liens entre théoriciens et algorithmiciens.

  • Systèmes différentiels/fonctionnels linéaires.  Cela concerne l'étude des équations et systèmes d'équations différentielles ou aux différences, linéaires, en mettant l'accent sur la recherche d'algorithmes efficaces et leur implantation dans un système de calcul formel (packages Maple et Mathemagix).
  • Analyse algébrique effective et systèmes multidimensionnels. L'équipe s’intéresse aux problèmes de stabilité et de stabilisation de systèmes multidimensionnels linéaires en utilisant l’analyse algébrique constructive (isomorphisme et équivalence de systèmes, réduction de Serre).
  • Ouverture vers le non-linéaire et applications. Nous travaillons aussi sur des applications, ce qui nous permet de nourrir notre réflexion théorique et de réorienter nos stratégies algorithmiques. Parmi les sujets explorés, nous trouvons l’intégrabilité de systèmes dynamiques et mécaniques, en particulier polynomiaux, les applications en mécanique statistique et combinatoire analytique, les dérivations localement nilpotentes, les covariants de groupes symplectiques appliqués aux champs de vecteurs.
  • Équations differentielles p-adiques. L'équipe s'intéresse à l'étude effective des équations différentielles p-adiques, avec applications pour des méthodes de comptage de points ou de calculs d'isogénies.

2. Calcul symbolique-numérique

La résolution concrète de problèmes issus de diverses applications nécessite souvent des traitements à la fois symboliques et numériques ; c’est le cas, par exemple, de la paramétrisation de frontières en optimisation de formes, où du calcul des développements en séries de fonctions algébriques. Dans cet esprit, trois axes sont abordés par notre équipe. 

  • Calculs avec des fonctions algébriques. La méthode de calcul des développements en séries de fonctions algébriques associe une approche symbolique pour la détermination de l’information exacte à une approche numérique pour le calcul approché des coefficients. Cette technique permet en particulier d'améliorer la complexité dans le cas des corps finis.
  • Algèbre linéaire numérique, études des matrices structurées et applications. L'équipe s’intéresse à des problèmes d’algèbre linéaire numérique pour des matrices présentant une structure particulière (e.g., quasiséparable ou de déplacement) et apparaissant dans certaines applications mathématiques (PGCD approché de polynômes, calcul rapide des valeurs propres, comportement des fonctions de matrices creuses).
  • Géométrie algébrique effective. Sur cet axe, l'équipe possède une expertise sur les méthodes effectives en géométrie algébrique et leurs applications, notamment en cryptographie et en optimisation de formes. On s'intéresse aussi aux calculs effectifs en géométrie non-archimédienne : bases de Gröbner p-adiques, bases de Gröbner tropicales.
  • Opérations sur les p-adiques. Il s'agit de l'étude de la précision p-adique pour les opérations de base sur les p-adiques (en particulier concernant les polynômes et l'algèbre linéaire), avec application pour des méthodes symboliques-numériques p-adiques.

Logiciel

Les packages Maple et Mathemagix suivants ont été réalisés dans le cadre du thème Systèmes différentiels/fonctionnels linéaires :

  • ParamInt et PfaffInt (systèmes différentiels matriciels, systèmes différentiels singulièrement perturbés et réduction formelle d'EDP),
  • IntegrableConnections (solutions globales de systèmes d'EDP D-finies),
  • AppSing (désingularisation de systèmes différentiels et de Ore),
  • miniISOLDE et Lindalg (algorithmique et résolution symbolique de systèmes fonctionnels, différentiels ou aux (q)-différences),
  • TensorConstructions (théorie de Galois effective par les constructions tensorielles et formes réduites).

L'étude de systèmes fonctionnels linéaires par l'analyse algébrique constructive a donné lieu au package Maple OreMorphisms et au package Mathematica OreAlgebraicAnalysis.

Le package Maple RationalFirstIntegrals a été développé pour calculer des intégrales premières de champs de vecteurs polynomiaux.

Le thème de recherche Calcul symbolique-numérique a donné lieu

  • aux codes Maple et Matlab pour le calcul de paires invariantes dans le cas des problèmes non linéaires aux valeurs propres,
  • aux codes Matlab et Fortran FastQR et FastQZ pour le calcul rapide des valeurs propres,
  • à une participation au développement du logiciel Mathemagix.

Projets et groupes de travail

L'équipe fait partie du groupe Calcul Formel du GDR IM (Informatique Mathématique), ainsi que, à une échelle plus large, des projets suivants :

  • COMUE Léonard de Vinci/fédération MIRES : LIE-GALOIS, GEOM-ALG, SATIN et MSDOS
  • Projets PEPS : SADDLES et HOLONOMIX
  • Projets ANR : MSDOS en cours et autres projets retenus en phase 1.

Colloques et séminaires

Outre un séminaire hebdomadaire, l'équipe organise annuellement deux colloques internationaux: